UNIDAD II

Graficacion 2D

Cuando se habla de un gráfico de dos dimensiones, lo primero que viene a la mente es un gráfico tipo (X-Y), así que empieza el arte de los gráficos 2D es análogo a la pintura. En los programas de gráficos por computadora esta distinción es a veces difusa: algunas aplicaciones 2D utilizan técnicas 3D para alcanzar ciertos efectos como iluminación, mientras que algunas aplicaciones 3D primarias hacen uso de técnicas 2D.


2.1 Trazo de lineas rectas


Diferentes tipos de líneas y situaciones en que se dibujan se resuelven con técnicas diferentes.
- Líneas cortas, o líneas que corren paralelas a otras que nos sirven de referencia.
- Líneas largas. Es el caso de líneas que unen dos puntos alejados, sin ninguna otra referencia. Las primeras líneas de cualquier croquis entran en esta categoría.
Líneas cortas o líneas paralelas a otras ya existentes se las puede dibujar de un solo trazo. Primero se deben mirar bien los puntos de inicio y terminación para luego ejecutar el trazo.
Para el trazado de líneas largas vamos a dar tres técnicas que se utilizarán según las circunstancias.
Líneas punto a punto
La técnica más rápida es, una vez determinados los puntos a unir se comienza moviendo el lápiz desde uno de ellos hacia el otro. Mientras se hace este movimiento se debe mantener la vista sobre el punto de destino. Esto último nos permitirá conservar la dirección.
Líneas compuestas
Una segunda técnica es proceder mediante trazos de cinco a siete centímetros; como si se estuviesen dibujando una sucesión de líneas más cortas. La interrupción del trazo permite verificar el rumbo del trazo y se corregir si es necesario. Los trazos sucesivos no se superponen a fin de posibilitar uniformidad de espesor. Se deja una pequeñísima luz entre ellos de forma tal que apenas resulte perceptible la interrupción y mantenga el espesor uniforme.

Líneas de construcción
Una tercera técnica, particularmente aplicable cuando se está planteando el dibujo, es utilizar líneas de tanteo. Resulta un poco más lenta que las anteriores, pero es de gran ayuda para obtener líneas rectas particularmente cuando son muy largas. Consiste en insinuar la línea en forma apenas visible con trazos muy suaves. Idealmente, solo el dibujante debería percibir esos trazos de tanteo. Se observa el resultado obtenido. Se introducen las correcciones necesarias hasta lograr definir el trayecto correcto. Entonces se comienza el trazado de la línea en forma similar al primer método, pero ahora con una guía visual. Si fuese necesario, porque se utilizaron demasiadas líneas de tanteo, se podrán borrar las que no sirven, antes del trazado definitivo.


El analizador diferenciador digital (DDA - Digital Differential Analyzer) es un algoritmo de conversión de rastreo que se basa en el calculo ya sea de Dy o Dx por medio de las ecuaciones:


Dy = m Dx


Dx = Dy / m


Se efectúa un muestreo de la línea en intervalos unitarios en una coordenada y se determina los valores enteros correspondientes mas próximos a la trayectoria de la línea para la otra coordenada.
Tomemos una línea con pendiente positiva, si la pendiente | m | £ 1, se hace el muestreo en x en intervalos unitarios (Dx = 1 y Dy = m dado que m = Dy / Dx) y se calcula cada valor sucesivo de y como:


yk+1 = yk+ m


El subíndice toma valores enteros a partir de 1 y aumenta a razón de 1 hasta alcanzar el valor final.
Ya que m puede ser cualquier numero real entre 0 y 1, los valores calculados de y deben redondearse al entero mas cercano. Para líneas con una pendiente | m | > 1, se revierten las funciones de x y y, o sea, se realiza un muestreo de y en intervalos unitarios (Dy = 1 y Dx = 1/m dado que m = Dy / Dx) y se calcula cada valor sucesivo de x como:


xk+1 = xk+ 1/m


Las dos ultimas ecuaciones se basan en la suposición de que las líneas deben procesarse del extremo izquierdo al derecho.
Si este procesamiento se revierte, entonces Dx o Dy serian -1, y yk+1 = yk - m o xk+1 = xk - 1/m





2.2 Representacion y trazo de poligonos


Un polígono es una figura bidimensional compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el espacio. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área.




Polígono
(lados rectos) No es un polígono
(tiene una curva)
No es un polígono
(abierto, no cerrado)



Tipos de polígonos

Simple o complejo
Un polígono simple sólo tiene un borde que no se cruza con él mismo. Uno complejo se interseca consigo mismo.


Polígono simple
(este es un pentágono) Polígono complejo
(también es un pentágono)



Cóncavo o convexo
Un polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia dentro. En concreto, los ángulos internos no son mayores que 180°.

Si hay algún ángulo interno mayor que 180° entonces es cóncavo.



Convexo Cóncavo



Regular o irregular
Si todos los ángulos son iguales y los lados también, es regular, si no es irregular


Regular Irregular

Analizador Diferencial Digital
Una implementación de hardware o software de un Analizador Diferencial Digital (DDA) se usa para la interpolación lineal de variables sobre un intervalo entre un punto de comienzo y un punto de fin. Los DDAs se usan para rastreo de lineas, triangulos y polígonos. En la implementación mas simple del algoritmo DDA interpola valores en intervalo [(xinicio, yinicio), (xfin, yfin)] por calculo para cada xi las ecuaciones xi = xi−1+1, yi = yi−1 + Δy/Δx, donde Δx = xfin − xinicio y Δy = yfin − yinicio.



2.3.1 Traslación

Una traslación es el movimiento en línea recta de un objeto de una posición a otra.


Se traslada cada punto P(x,y) dx unidades paralelamente al eje x y dy unidades paralelamente al eje y, hacia el nuevo punto P'(x',y').
Las ecuaciones quedan:





Si se definen los vectores columna queda:




Entonces la ecuación 1 puede ser expresada como:



Una forma de efectuar la traslación de un objeto es aplicándole a cada punto del mismo la ecuación 1. Para trasladar todos los puntos de una línea, simplemente se traslada los puntos extremos.





En la figura se muestra el efecto de trasladar un objeto 3 unidades en x y -4 unidades en y.


Esto se cumple también para el escalamiento y la rotación.




2.3.2 Escalamiento

Una transformación para alterar el tamaño de un objeto se denomina escalación.


Dependiendo del factor de escalación el objeto sufrirá un cambio en su tamaño pasando a ser mayor, o menor en su segmento de longitud.


El escalamiento se hace con un factor sx en el eje x y en un factor sy en el eje y.
Escalamiento uniforme sx = sy
Escalamiento diferencial.
La transformación de escalamiento puede expresarse con las siguientes multiplicaciones



En forma matricial






Se escala a ½ en el eje x y a ¼ en el eje y .
El escalamiento se efectúa con respecto al origen;









2.3.3 Rotación

Para rotar un objeto (en este caso bidimensional), se ha de determinar la cantidad de grados en la que ha de rotarse la figura. Para ello, y sin ningún tipo de variación sobre la figura, la cantidad de ángulo ha de ser constante sobre todos los puntos.


Los puntos también pueden ser rotados un ángulo θ con respecto al origen

En forma matricial






En la figura se muestra la rotación de la casa 45º, con respecto al origen.








2.4 Representación matricial
En las aplicaciones de diseño y de creación de imágenes, realizamos traslaciones, rotaciones y escalaciones para ajustar los componentes de la imagen en sus posiciones apropiadas. En este tema consideramos cómo se pueden volver a formular las representaciones de la matriz de modo que se pueden procesar de manera eficiente esas secuencias de transformación. Es posible expresar cada una de las transformaciones básicas en la forma de matriz general con las posiciones de coordenadas P y P’ representadas como columnas de vector.

Con las representaciones de matriz podemos establecer una matriz para cualquier secuencia de transformaciones como una matriz de transformación compuesta al calcular el producto de la matriz de las transformaciones individuales. La creación de productos de matrices de transformación a menudo se conoce como concatenación o composición de matrices.


TraslacionesSe se aplican dos vectores de traslación sucesivos (tx1, t y1) y (tx2 , t y2 ) en la posición de coordenadas P, la localización transformada final P, la localización transformada final P’ se calcula como: P'=T(t x2,t2)·T(tx1,ty1)·P}{=T(tx2, 2)·T(t x1,t y1)}{·P
Donde se representan P y P’ como vectores de columna de coordenadas homogéneas. Podemos verificar este resultado al calcular el producto de la matriz para las dos agrupaciones asociativas. Asimismo, la matriz de transformación compuesta para esta secuencia de transformaciones.

RotacionesDos rotaciones sucesivas que se aplican en el punto P producen la posición transformada P'=R(θ2)·R(θ1){·P}=R(θ2){· (θ1)}·P
Al multiplicar las dos matrices de rotación, podemos verificar que dos rotaciones sucesivas son aditivas

Escalamiento

La siguiente figura ilustra una secuencia de transformación para producir escalación con respecto de una posición fija seleccionada (xf,f) al utilizar una función de escalación que sólo puede escalar en relación con el origen de las coordenadas





Propiedades de concatenación

La multiplicación de matrices es asociativa. Para tres matrices cualesquiera A, B y C, el producto matricial A·B·C se puede llevar a cabo al multiplicar primero a por B o multiplicar primero B por C:2.35.A · BC=( A· B)·C =A·( B·C)

Por tanto, podemos evaluar los productos matriciales al utilizar una agrupación asociativa ya sea de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. Por otro lado, los productos de la transformación tal vez no sean conmutativos. En general el producto matricial A·B no es igual que B·A. Esto significa queremos trasladar y girar un objeto, debemos tener cuidado sobre el sentido en que se evalúa la matriz compuesta.





2.5 Ventana y puerto de visión
Un área rectangular que se especifica en coordenadas mundiales se denomina ventana. El área rectangular en el dispositivo de despliegue en el cual se coloca la ventana se llama puerta de visión. La figura ilustra el trazo o planimetría de la selección de una imagen que queda dentro del área de ventana en una puerta de visión designada. Esta planimetría se llama transformación de la visión o bien transformación de normalización.







Los límites de la ventana se especifican en coordenadas mundiales. Las coordenadas de dispositivo normalizadas se usan con mayor frecuencia para la especificación de la puerta visión, aunque las coordenadas del dispositivo pueden emplearse si hay solamente un dispositivo de salida en el sistemas. Cuando se usan coordenadas de dispositivo normalizadas, el programador considera el dispositivo de salida como aquel que tiene valores coordenados dentro del intervalo de 0 a 1.


Cambiando la posición de la puerta de visión, los objetos pueden desplegarse en diferentes posiciones en un dispositivo de salida. Asimismo, variando el tamaño de las puertas de visión, el tamaño y las proporciones de los objetos pueden alterarse. Cuando se trazan en forma sucesiva ventanas de diferentes tamaños en una puerta de visión, pueden lograrse efectos de acercamiento. Conforme las ventanas se hacen pequeñas, un usuario puede lograr el acercamiento de alguna parte de una escena para visualizar detalles que no se muestran con las ventanas mayores.


Analógicamente, puede obtener un panorama general más amplio realizando un acercamiento de una sección de escena con ventanas cada vez más mayores. Los efectos de toma panorámica se producen moviendo o desplazando una ventana de tamaño fijo a través de una imagen grande.











Conclusión 

En esta parte del curso vimos lo que es la modificación de las imágenes por medio de ecuaciones , y por medio de coordenadas, ademas de realizar translacion rotación y escalacion de los objetos e imágenes.