UNIDAD III

3.1 Representación de objetos en tres dimensiones
Las respuestas a los interrogantes sobre los orígenes de la representación gráfica en tres dimensiones las debemos buscar en la época de oro del conocimiento humano, el Renacimiento. El hombre renacentista, crítico y global en su conocimiento, se presenta como un artista rompedor en sus planteamientos gráficos, intentando insertar los temas fundamentales que las fuentes de la pintura le habían aportado hasta el momento, en un ámbito perspectivo anteriormente nunca visto, aportando profundidad y realismo a sus obras. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti, dePiero della Francesca, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de Geometría que ésta implica: la geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría de Desargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal o por de la Hire, pero debido al interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión como merecía hasta la llegada a principios del siglo XIX de Gaspard Monge en primer lugar y sobre todo de Poncelet.


Formas geométricas


Clasificación de las formas geométricas más elementales:


Formas geométricas planas:
Recta
Polígonos
Las secciones cónicas

Formas geométricas espaciales:
Piramide
Cuña
Prisma
Superficies de revolución:
Cilindro
Cono
Esfera
Elipsoide
Paraboloide
Hiperboloide



LA PERSPECTIVA
La perspectiva es el arte de dibujar volúmenes (objetos tridimensionales) en un plano (superficie bidimensional) para recrear la profundidad y la posición relativa de los objetos. En un dibujo, la perspectiva simula la profundidad y los efectos de reducción dimensional y distorsión angular, tal como los apreciamos a simple vista. Es en el renacimiento cuando se gesta la perspectiva como disciplina matemática, para conseguir mayor realismo en la pintura.


Por analogía, también se llama perspectiva al conjunto de circunstancias que rodean al observador, y que influyen en su percepción o en su juicio; de ahí que se diga: "ver las cosas con determinada perspectiva".
Geometría de la perspectiva


Desde un punto de vista geométrico, podemos simular el efecto visual de la perspectiva proyectando los objetos tridimensionales sobre un plano (bidimensional) en la denominada perspectiva cónica. Recibe este nombre por el hecho de que todas las líneas de proyección parten de un punto (a modo de un cono). Por este procedimiento se pueden obtener imágenes realistas. Sin embargo, no puede imitar la visión estereoscópica del ser humano.


La generación de gráficos 3D consta de varias facetas.

Modelado


El primer paso es la creación de los modelos tridimensionales. La superficie de un objeto, se representa como una serie de superficies, generalmente Triángulos. Cada nodo de ésta superficie se llama vértice y se representan en el ordenador por sus coordenadas X Y y Z.


También hay que especificar otras características del modelo, como el color y la normal a la superficie en cada vértice. Como los triángulos no describen superficies curvas, los modelos detallados exigen un gran número de triángulos para crear una imagen realista.



Iluminación


Los objetos deben ser iluminados y sombreados si se quiere lograr realismo en un modelo 3D. A partir del color de la luz la escena se calcula la información del sombreado para cada vértice, otros parámetros de este proceso son la orientación de cada superficie, el color y otras propiedades de la superficie. Antes de obtener la representación final se pueden tomar en cuenta otros efectos como la niebla etc.


Los gráficos por Hardware suelen emplear el Sombreado Gouraud, que interpola los colores a lo largo de la superficie partiendo del cálculo de la iluminación en los vértices de la primitiva logrando que el objeto tenga un aspecto más realista.


El Sombreado Phong representa el brillo haciendo variar la iluminación y los colores en dirección perpendicular a la superficie y calculando la iluminación de cada píxel. Esto proporciona una mejor aproximación de la superficie aunque exige más cálculos.



Texturización


De los métodos que más realismo aportan a un modelo está el de aplicación de texturas, que estampa una imagen a la superficie de un objeto. Así, se hace posible aplicar un dibujo de ladrillos a una pared.


La técnica de aplicación de bultos(Bump Mapping), proporciona una visión más realista al alterar la iluminación para que la superficie parezca más realista. La aplicación de bultos no afecta los vértices de la imagen sino el color de los pixeles finales.
Mezcla(z-buffer)


Después del sombreado y texturizado el último paso es el mezclado, o sea introducir ese color en la memoria para que pueda ser representado en la pantalla. Se suele emplear una técnica conocida z-buffer para determinar que primitiva es la más cercana al punto de visión de la escena, con el fin de garantizar que los objetos mas lejanos no se dibujen por encima de los más cercanos. Finalmente, si la superficie que se está dibujando es semitransparente, el color del objeto cercano se mezcla con el del que hay detrás.



Referencias:

http://odisea3d.blogcindario.com/2009/08/00004-origen-y-desarrollo-de-las-tres-dimensiones.html
http://www.ecured.cu/index.php/Gr%C3%A1ficos_por_computadora#Generaci.C3.B3n_de_gr.C3.A1ficos_3D

3.2 Visualización de objetos
No cabe duda de que la representación tridimensional del territorio abre nuevas posibilidades en el ámbito geográfico. Pero el 3D por sí solo no está justificado. Las acciones para la navegación por una escena tridimensional son más complejas que las necesarias para la navegación en un plano. Cada aplicación de software ha resuelto de manera distinta, la manera de controlar la elevación, rotación y cabeceo del punto de vista, lo que requiere un aprendizaje por parte del usuario. Además, el tiempo real de las escenas exige más cantidad de recursos, tanto de cálculo como de datos.



La representación tridimensional es conveniente cuando la visualización de una tercera magnitud, , resulta útil para la interpretación de los datos que se quieren mostrar. Se presentan a continuación algunos de los usos más comunes.



Proyecciones

Existen dos métodos básicos para proyectar objetos tridimensionales sobre una superficie de visión bidimensional. Todos los puntos del objeto pueden proyectarse sobre la superficie a lo largo de líneas paralelas o bien los puntos pueden proyectarse a lo largo de las líneas que convergen hacia una posición denominada centro de proyección.






Proyección en paralelo


Cuando las líneas proyectantes son paralelas –como el anterior objeto alumbrado por la luz del Sol–, se habla de proyección paralela o proyección cilíndrica. Es un caso particular de proyección central, donde el foco del haz proyectante estaría a distancia infinita.


Una proyección en paralelo preserva dimensionar relativas de los objetos y esta es la técnica que se utiliza en dibujo mecánico para producir trazos a escala de los objetos en las dimensiones. Este método sirve para obtener vistas exactas de varios lados de un objeto, pero una proyección en paralelo no ofrece una presentación realista del aspecto de un objeto tridimensional.


Las vistas formadas con proyecciones en paralelo se pueden caracterizar de acuerdo con el angulo que la dirección de proyección forma con el plano de proyección. Cuando la dirección de proyección es perpendicular al plano de proyección, se tiene una proyección ortogonal.Una proyección que no es perpendicular al plano se denomina proyección oblicua







Proyección Ortogonal


La Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.


Existen diferentes tipos:


Vista A: Vista frontal o alzado


Vista B: Vista superior o planta


Vista C: Vista derecha o lateral derecha


Vista D: Vista izquierda o lateral izquierda


Vista E: Vista inferior


Vista F: Vista posterior


Las ecuaciones de transformación parea efectuar una proyección paralela ortogonal son directas.Para cualquier punto (x, y, z), el punto de proyección (Xp, Yp, Zp) sobre la superficie de visión se obtiene como Xp=X, Yp=y, Xp=0.






Proyección Oblicua


Es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son oblicuas al plano de proyección, estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.


Una proyección Oblicua se obtiene proyectando puntos a lo largo de líneas paralelas que no son perpendiculares al plano de proyección. La figura muestra una proyección oblicua de un punto (x, y, z) por una línea de proyección a la posición (xp, Yp).







Proyección Perspectiva


Para obtener una proyección en perspectiva de un objeto tridimensional, se proyectan puntos a lo largo de líneas de proyección se interceptan en el de centro de proyección.


En el centro de proyección está en el eje z negativo a una distancia d detrás del plano de proyección. Puede seleccionarse cualquier posición para el centro de proyección, pero la elección de una posición a lo largo del eje z simplifica los cálculos en las ecuaciones de transformación.


Podemos obtener las ecuaciones de transformaciones de una proyección en perspectiva a partir de las ecuaciones paramétricas que describen la línea de proyección de esta línea.


X’ = x –xu


Y’ = y- yu


Z’ = z-(z + d) u


El parámetro u toma los valores de 0 a 1 y las coordenadas (x’, y’, z’) representan cualquier posición situada a lo largo de la línea de proyección. Cuando u = 0.
Las ecuaciones producen el punto P en las coordenadas (x, y, z). En el otro extremo de la línea u = 1 y se tienen las coordenadas del centro de proyección, (0, 0,-d). Para obtener las coordenadas en el plano de proyección. Se hace z’ = 0 y se resuelven para determinar el parámetro u:
Este valor del parámetro u produce la interacción de la línea de proyección con el plano de proyección en (xp, yp, 0). Al sustituir las ecuaciones, se obtienen las ecuaciones de transformación de perspectiva.
Mediante una representación en coordenadas homogéneas tridimensionales, podemos escribir la transformación de la perspectiva en forma matricial.
Las coordenadas de proyección en el plano de proyección se calculan a partir de las coordenadas homogéneas como:
[xp yp zp 1] = [xh/w yh/w zh/w 1]


Cuando un objeto tridimensional se proyecta sobre un plano mediante ecuaciones de transformaciones de perspectiva, cualquier conjunto de líneas paralelas del objeto que no sean paralelas al plano se proyectan en líneas convergentes.









Referencias:
http://graficacionporcomputadora.blogspot.mx/2013/05/3_7.html

3.3 Transformaciones tridimensionales
Algunas aplicaciones gráficas son bidimensionales: dibujos y gráficos, algunos mapas y creaciones artísticas pueden ser entidades estrictamente bidimensionales. Pero vivimos en un mundo tridimensional, y en muchas aplicaciones de diseño debemos manejar y describir objetos tridimensionales. Si un arquitecto desease ver el aspecto real de la estructura, entonces un modelo tridimensional le permitiría observarla desde diferentes puntos de vista. Un diseñador de aviones podría desear analizar el comportamiento de la nave bajo fuerzas y tensiones tridimensionales. En este caso se necesita también una descripción tridimensional. Algunas aplicaciones de simulación, como el aterrizaje de un avión, también exigen una definición tridimensional del mundo.


GEOMETRÍA 3D


Empecemos revisando los métodos de la geometría analítica para definir objetos. El objeto más sencillo es, por supuesto, un punto. Como en el caso de las dos dimensiones, podemos definir un punto estableciendo un sistema de coordenadas y listando las coordenadas del punto. Necesitamos un eje adicional de coordenadas para la tercera dimensión. Podemos disponer este tercer eje para que forme ángulo recto con los otros dos.


Podemos utilizar este nuevo sistema de coordenadas para definir la ecuación de una recta. En dos dimensiones teníamos:





mientras que en el caso tridimensional, son necesarias un par de ecuaciones





CAMBIO DE ESCALA


Ahora que sabemos expresar puntos, rectas y planos en tres dimensiones, consideremos los algoritmos que permiten al usuario modelar objetos tridimensionales.


Empezaremos por generalizar las transformaciones bidimensionales que vimos en el capítulo anterior. Así, por lo que respecta al cambio de escala, la tercera coordenada que hemos introducido pueden tener su propio facto de escala, por lo tanto será necesaria una matriz





o de rango si empleamos coordenadas homogéneas







TRASLACIÓN


Igual que en el caso bidimensional, empleamos los elementos de la fila inferior de la matriz de transformación en coordenadas homogéneas para reflejar la traslación.







ROTACIÓN


Cuando consideramos la rotación de un objeto en dos dimensiones, vimos la matriz de rotación alrededor del origen





Podemos generalizar este concepto a una rotación tridimensional alrededor del eje z.





En esta rotación, pensamos en el eje como fijo mientras que algún objeto se mueve en el espacio. Podemos pensar también que el objeto permanece inmóvil mientras los ejes se mueven. La diferencia entre uno y otro planteamiento es la dirección de la rotación. Fijar el eje y girar el objeto en sentido antihorario es lo mismo que fijar el objeto y mover el eje en sentido horario.


La rotación alrededor de los ejes x e y se realiza con una matriz de transformación similar a la anterior.





Para hacer una rotación alrededor del eje y, del tal forma que el eje z se convierte en el x realizamos la siguiente matriz en coordenadas homogéneas









Referencias:

http://www.mieres.uniovi.es/egi/dao/apuntes/trans3d.html

3.4 Lineas y superficies curvas
Los despliegues de líneas y superficies curvas tridimensionales se pueden generar a partir de un conjunto de entrada de funciones matemáticas que definen los objetos o de un conjunto de puntos de datos específicos para el usuario. Cuando las funciones se especifican, un paquete puede proyectar las ecuaciones de definición para una curva hacia el plano de despliegue y trazar las posiciones de pixel a lo largo de la trayectoria de la función. Algunos ejemplos de superficies de despliegue que se generan a partir de descripciones funcionales incluyen los cuádricos y súper cuádricos.


Interpolación lineal


Dado un conjunto de puntos se interpolan usando rectas entre ellos.
• Sencillo.
• La curva es continua pero no sus derivadas.
• Curva local: la modificación de un punto
afecta a dos intervalos.
Entre dos puntos se define una línea recta.
X(t) = mx
t + bx(explícita)
X(t)-X0=m(t-t0) (pto. pendiente)
Con las condiciones
X(t=0) = X0
X(t=1) = X1
Para el primer intervalo y la primera coordenada.




Curvas de Bezier


En 1959, de Casteljau (Citroën), idea una formulación matemática para diseñar las formas curvas de los coches.
Posteriormente (1966), Bezier (Renault) llega a las mismas conclusiones, pero partiendo de otro desarrollo matemático.
Bezier fue el que publicó sus resultados.
Es un sistema desarrollado hacia los años setenta del siglo XX, para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y de automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bézier quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a utilizar con éxito en los programas de CAD.
Posteriormente, los inventores del PostScript, introdujeron en ese código el método de Bézier para la generación del código de las curvas y los trazados.

• Applet sencillo para generación de curvas de Bézier:
•Se definen por una serie de puntos de control.
•La curva siempre empieza en el primer punto, y termina en el último.
•Los puntos intermedios “atraen” hacia si a la curva.
•Sólo dos puntos de control (P0 y P1).
•Son líneas rectas.
•Podemos recorrer la curva con un parámetro t є [0,1] que recorre la recta de P0 a P1.




Superficies de Bézier :


Se pueden utilizar dos conjuntos de curvas de Bézier ortogonales para diseñar la superficie de un objeto al especificar un entrelazado de entrada de los puntos de control. La función del vector paramétrico para la superficie de Bézier se forma como el producto cartesiano de las funciones de combinación de Bézier Las superficies de Bézier tienen las mismas propiedades que las curvas de Bézier y proporcionan un método conveniente para las aplicaciones de diseño interactivo. Para cada parche de superficie, podemos seleccionar un entrelazado de puntos de control en el plano de terreno xy, así elegimos elevaciones sobre el plano de terreno para los valores de las coordenadas z de los puntos de control. De esta manera los parches se pueden unir al utilizar las restricciones de frontera.






Referencias:

http://dac.escet.urjc.es/docencia/IG/06-CurvasSuperficies.pdf